Comprueba con un ejemplo que dos sucesos pueden ser incompatibles sin ser contrarios.

Consideremos los sucesos \(A\) y \(B\) en una experiencia aleatoria. Expresa los sucesos siguientes:

1. Se realizan ambos.
2. Se realiza \(A\) pero no \(B\).
3. No se realiza ninguno de ellos.
4. Ocurre al menos uno de los dos.

La diferencia de dos sucesos, \(A\) y \(B\), es el suceso que se realiza cuando ocurre \(A\) y no \(B\). Represéntalo con un diagrama de Venn y comprueba con un ejemplo que \(A-B = A \cap \overline{B}\).

¿Cuál es el suceso contrario del suceso seguro?

Si unimos un suceso y su contrario, ¿qué obtenemos? ¿Y si los intersectamos? Compruébalo con un ejemplo.

Comprueba que al sacar una carta de una baraja, los sucesos “sacar un as” y “sacar un oros” son independientes.

Sea \(E=\displaystyle{\left\{a,b,c,d,e,f\right\}}\) el espacio muestral de un experimento y \(p\) una medida de probabilidad definida de modo que es:

\(P(a)=P(b)=P(c)=P(d)=\displaystyle{\frac{1}{8}}\) y \(P(e)=\displaystyle{\frac{1}{4}}\).

Se consideran los sucesos: \(A=\displaystyle{\left\{a,c,d,e\right\}}\) y \(B=\displaystyle{\left\{d,e,f\right\}}\)

Calcula:

1. \(P(A)\)
2. \(P(B)\)
3. \(P(A \cup B)\)
4. \(P(A \cap B)\)

Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos de los que se conocen \(p=P(A)\), \(q=P(B)\) y \(r=P(A \cap B)\). Expresa en función de \(p\), \(q\), y \(r\) las probabilidades de los sucesos:

1. \(C\)=“no ocurre ninguno de los sucesos \(A\) o \(B\)”
2. \(D\)=“sucede exactamente uno de los sucesos \(A\) o \(B\)”

Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos tales que las probabilidades \(P(A)=a\), \(P(B)=b\) y \(P(A \cap B)=c\) son conocidas. Obtén en función de \(a\), \(b\) y \(c\):

1. \(P(A \cup B)\)
2. \(P(\overline{A} \cap \overline{B})\)
3. \(P(\overline{A} \cup B)\)

Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos de un experimento aleatorio del que se conocen las probabilidades \(P(A)=0.6\), \(P(B)=0.7\) y \(P(A \cup B)-P(A \cap B)=0.3\).

Calcula:

1. \(P(A \cup B)\)
2. \(P(A \cap B)\)

Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos de un experimento aleatorio del que se conocen las probabilidades \(P(A)=0.4\), \(P(B)=0.3\) y \(P(A \cap B)=0.1\).

Calcula razonadamente:

1. \(P(A \cup B)\)
2. \(P(A|B)\)
3. \(P(\overline{A} \cup \overline{B})\)
4. \(P(\overline{A} \cap B)\)

Comenta la siguiente afirmación: “Si \(A\) y \(B\) son dos sucesos asociados a un determinado experimento aleatorio, \(P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)\)”

Escribe la fórmula que da la probabilidad de la unión de dos sucesos independientes en términos de probabilidad de cada uno de ellos.

Sean \(A\) y \(B\) dos sucesos posibles que se pueden presentar en un experimento aleatorio. Demostrar que si \(A\) y \(B\) son independientes también lo son sus sucesos contrarios.

Probar que si los sucesos \(A\) y \(B\) son independientes también lo son los sucesos:

1. \(A\) y \(\overline{B}\)
2. \(\overline{A}\) y \(B\)

Estudia la posible independencia de dos sucesos \(A\) y \(B\) en los casos siguientes, señalando cuándo serán independientes:

1. \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes y de probabilidad no nula.
2. \(A\) está incluido en \(B\), y \(A\) es un suceso de probabilidad no nula.
3. \(A\) es cualquier suceso y \(P(B)=0\).

Sea \(A\) un suceso con \(0 < P(A) < 1\).

1. ¿Puede ser \(A\) independiente de su contrario?
2. Sea \(B\) otro suceso tal que \(B \subset A\). ¿Serán \(A\) y \(B\) independientes?
3. Sea \(C\) un suceso independiente de \(A\). ¿Serán \(A\) y \(\overline{C}\) independientes?

Probabilidad

Sucesos y operaciones con sucesos

$$\left\{\begin{array}{c} \mathbf{\hbox{(Suceso seguro) }} X \\ \\ \mathbf{\hbox{(Suceso imposible) }} \varnothing \\ \\ \mathbf{\hbox{ (Intersección de sucesos) }} A \cap B = \begin{Bmatrix} x / x \in A \wedge x \in B \end{Bmatrix}\\ \\ \mathbf{\hbox{ (Unión de sucesos) }} A \cup B = \begin{Bmatrix} x / x \in A \vee x \in B \end{Bmatrix}\\ \\ \mathbf{\hbox{ (Diferencia de sucesos) }} A - B = \begin{Bmatrix} x / x \in A \wedge x \notin B \end{Bmatrix} = A \cap \overline{B}\\ \\ \mathbf{\hbox{ (Contrario o complementario de un suceso) }} \left\{\begin{array}{l} \overline{A} = \begin{Bmatrix} x / x \notin A \end{Bmatrix}\\ \\ \left.\begin{array}{l} \overline{A} = X - A\\ \overline{\overline{A}} = A\\ X = A \cup \overline{A}\\ A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right.\\ \\ \mathbf{\hbox{(Leyes de Morgan)}} \left\{\begin{array}{l} \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\\ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\\ \end{array}\right.\\ \\ \mathbf{\hbox{ (Incompatibilidad de sucesos) }} \hbox{A y B son incompatibles} \Leftrightarrow A \cap B = \varnothing\\ \end{array}\right. $$

Cálculo de Probabilidades

$$\left\{\begin{array}{c} \left.\begin{array}{c} P(\varnothing)=0, P(X)=1 \\ \\ \varnothing \subseteq A \subseteq X \Rightarrow 0 \leq P(A) \leq 1\\ \end{array} \right.\\ \\ \mathbf{\hbox{ (Probabilidad de la unión) }} \left\{\begin{array}{l} P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \\ \\ \hbox{Si A y B incompatibles} \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B) \\ \end{array}\right.\\ \\ \left.\begin{array}{c} \hbox{En general, dados n sucesos } A_1, A_2, \cdots , A_n: \\ \\ P(A_1 \cup \cdots \cup A_n) = \displaystyle{\sum_{i=1}^{n}P(A_i)} - \displaystyle{\sum_{i \neq j}^{}P(A_i \cap A_j)} + \displaystyle{\sum_{i \neq j \neq k}^{}P(A_i \cap A_j \cap A_k)} - \cdots +(-1)^n P(A_1 \cap \cdots \cap A_n)\\ \\ \hbox{Si } \forall i \neq j, A_i \hbox{ y } A_j \hbox{ son incompatibles} \Rightarrow P(A_1 \cup \cdots \cup A_n) = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}P(A_k)}\\ \end{array}\right.\\ \\ \mathbf{\hbox{ (Probabilidad de la contrario) }} P(\overline{A})=1-P(A) \\ \\ \mathbf{\hbox{(Regla de Laplace) }} P(A)=\frac{\hbox{Casos favorables a A}}{\hbox{Casos posibles}} \hbox{ , si todos los sucesos elementales son equiprobables}\\ \end{array}\right.$$

Experiencias compuestas

$$\left\{\begin{array}{l} \mathbf{\hbox{(Probabilidad condicionada) }} P(A|B)=\displaystyle{\frac{P(A \cap B)}{P(B)}} \hbox{ , es la probabilidad de que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B}\\ \\ \mathbf{\hbox{(Intersección de sucesos) }} \left\{\begin{array}{l} P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B|A)\\ \\ P(A \cap B \cap C)=P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)\\ \\ P(A_1 \cap \cdots \cap A_n)=P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdots P(A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1})\\ \end{array}\right.\\ \\ \mathbf{\hbox{(Independencia de sucesos) }} \hbox{A y B independientes} \Leftrightarrow P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \Leftrightarrow P(A|B)=P(A) \hbox{ si P(B)} \neq 0\\ \end{array}\right.$$

Sistema completo de sucesos

Un sistema completo de sucesos \(S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{n}\) es un conjunto de sucesos cuya unión es el total, es decir, es el espacio muestral \(X\), e incompatibles dos a dos, es decir, la intersección de cualesquiera dos de ellos es el conjunto vacío.

$$ \left\{\begin{array}{l} S_1 \cup \cdots \cup S_n = X\\ S_i \cap S_j=\varnothing \hbox{ } \forall i,j \end{array}\right.$$

Ejemplo:

Dado un suceso \(A\), en todo sistema completo de sucesos se cumple:

$$\left\{\begin{array}{l} \mathbf{\hbox{ (Teorema de la Probabilidad Total) }} P(A)=\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}P(S_k)\cdot P(A|S_k)} \\ \\ \mathbf{\hbox{ (Teorema de Bayes) }} P(S_i|A)=\displaystyle{\frac{P(S_i) \cdot P(A|S_i)}{\displaystyle{\sum_{k=1}^{n}P(S_k)\cdot P(A|S_k)}}} \\ \end{array}\right.$$

Ejemplo:

Teorema de la Probabilidad Total:

$$\left\{\begin{array}{l} P(A)=P(S_1) \cdot P(A|S_1)+P(S_2) \cdot P(A|S_2)+P(S_3) \cdot P(A|S_3)+P(S_4) \cdot P(A|S_4)\\ \\ P(\overline{A})=P(S_1) \cdot P(\overline{A}|S_1)+P(S_2) \cdot P(\overline{A}|S_2)+P(S_3) \cdot P(\overline{A}|S_3)+P(S_4) \cdot P(\overline{A}|S_4)\\ \end{array}\right.$$

Teorema de Bayes:

$$\left\{\begin{array}{l} P(S_1|A)=\displaystyle{\frac{P(S_1) \cdot P(A|S_1)}{P(S_1) \cdot P(A|S_1)+P(S_2) \cdot P(A|S_2)+P(S_3) \cdot P(A|S_3)+P(S_4) \cdot P(A|S_4)}}\\ \\ P(S_1|\overline{A})=\displaystyle{\frac{P(S_1) \cdot P(\overline{A}|S_1)}{P(S_1) \cdot P(\overline{A}|S_1)+P(S_2) \cdot P(\overline{A}|S_2)+P(S_3) \cdot P(\overline{A}|S_3)+P(S_4) \cdot P(\overline{A}|S_4)}}\\ \\ P(S_2|A)=\displaystyle{\frac{P(S_2) \cdot P(A|S_2)}{P(S_1) \cdot P(A|S_1)+P(S_2) \cdot P(A|S_2)+P(S_3) \cdot P(A|S_3)+P(S_4) \cdot P(A|S_4)}}\\ \\ P(S_2|\overline{A})=\displaystyle{\frac{P(S_2) \cdot P(\overline{A}|S_2)}{P(S_1) \cdot P(\overline{A}|S_1)+P(S_2) \cdot P(\overline{A}|S_2)+P(S_3) \cdot P(\overline{A}|S_3)+P(S_4) \cdot P(\overline{A}|S_4)}}\\ \\ P(S_3|A)=\displaystyle{\frac{P(S_3) \cdot P(A|S_3)}{P(S_1) \cdot P(A|S_1)+P(S_2) \cdot P(A|S_2)+P(S_3) \cdot P(A|S_3)+P(S_4) \cdot P(A|S_4)}}\\ \\ P(S_3|\overline{A})=\displaystyle{\frac{P(S_3) \cdot P(\overline{A}|S_3)}{P(S_1) \cdot P(\overline{A}|S_1)+P(S_2) \cdot P(\overline{A}|S_2)+P(S_3) \cdot P(\overline{A}|S_3)+P(S_4) \cdot P(\overline{A}|S_4)}}\\ \\ P(S_4|A)=\displaystyle{\frac{P(S_4) \cdot P(A|S_4)}{P(S_1) \cdot P(A|S_1)+P(S_2) \cdot P(A|S_2)+P(S_3) \cdot P(A|S_3)+P(S_4) \cdot P(A|S_4)}}\\ \\ P(S_4|\overline{A})=\displaystyle{\frac{P(S_4) \cdot P(\overline{A}|S_4)}{P(S_1) \cdot P(\overline{A}|S_1)+P(S_2) \cdot P(\overline{A}|S_2)+P(S_3) \cdot P(\overline{A}|S_3)+P(S_4) \cdot P(\overline{A}|S_4)}}\\ \\ \end{array}\right.$$

Diagramas de árbol

Ejemplos:

Tablas de contingencia

Ejemplo:

Diagramas de Venn

Dados dos conjuntos A y B:

Dados tres conjuntos A, B y C:

Combinatoria

Números Combinatorios

$$\left\{\begin{array}{l} \mathbf{\hbox{(Factorial de n) }} n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1 \hbox{ , } \forall n \in \mathbb{N}\\ \\ \mathbf{\hbox{(Propiedades)}} \left\{\begin{array}{l} n! = n \cdot (n-1)! \\ \\ 0! = 1 \\ \end{array}\right.\\ \\ \mathbf{\hbox{(Número combinatorio) }} \hbox{Dados n, m} \in \mathbb{N},n \geq m, \displaystyle{\binom{n}{m}} = \displaystyle{\frac{n!}{m!(n-m)!}} \\ \\ \mathbf{\hbox{(Propiedades)}} \left\{\begin{array}{l} \displaystyle{\binom{n}{0}} = 1, \displaystyle{\binom{n}{1}} = n, \displaystyle{\binom{n}{n}} = 1 \\ \\ \displaystyle{\binom{n}{m}} = \displaystyle{\binom{n}{n-m}} \\ \\ \displaystyle{\binom{n}{m}} + \displaystyle{\binom{n}{m+1}} = \displaystyle{\binom{n+1}{m+1}} \\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$

Triángulo de Tartaglia (o de Pascal)

$$ \left.\begin{array}{l} \left.\begin{array}{l} & & & & 1 & & & & \\ & & & 1 & & 1 & & & \\ & & 1 & & 2 & & 1 & & \\ & 1 & & 3 & & 3 & & 1 & \\ 1 & & 4 & & 6 & & 4 & & 1\\ & & & & \vdots & & & & \\ \end{array}\right. & \Leftrightarrow & \left.\begin{array}{l} & & & & \displaystyle{\binom{0}{0}} & & & & \\ & & & \displaystyle{\binom{1}{0}} & & \displaystyle{\binom{1}{1}} & & & \\ & & \displaystyle{\binom{2}{0}} & & \displaystyle{\binom{2}{1}} & & \displaystyle{\binom{2}{2}} & & \\ & \displaystyle{\binom{3}{0}} & & \displaystyle{\binom{3}{1}} & & \displaystyle{\binom{3}{2}} & & \displaystyle{\binom{3}{3}} & \\ \displaystyle{\binom{4}{0}} & & \displaystyle{\binom{4}{1}} & & \displaystyle{\binom{4}{2}} & & \displaystyle{\binom{4}{3}} & & \displaystyle{\binom{4}{4}}\\ & & & & \vdots & & & & \\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$

Combinatoria: Variaciones, Combinaciones y Permutaciones

$$ \left\{\begin{array}{l} \hbox{Importa el orden} \left\{\begin{array}{l} \hbox{No entran todos } \mathbf{\hbox{(Variaciones)}} \left\{\begin{array}{l} \hbox{Sin repetición: } V_{n,k}=\displaystyle{\frac{n!}{(n-k)!}}=n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)\\ \hbox{Con repetición: } VR_{n,k}=n^k \end{array}\right.\\ \\ \hbox{Entran todos } \mathbf{\hbox{(Permutaciones)}} \left\{\begin{array}{l} \hbox{Sin repetición: } P_n=n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1\\ \hbox{Con repetición: } PR_n^{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k}=\displaystyle{\frac{n!}{\alpha_1! \cdot \alpha_2!\cdots \alpha_k!}} \end{array}\right.\\ \end{array}\right.\\ \\ \hbox{No importa el orden } \mathbf{\hbox{(Combinaciones)}} \left\{\begin{array}{l} \hbox{Sin repetición: } C_{n,k} = \displaystyle{\binom{n}{k}} = \displaystyle{\frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}}\\ \hbox{Con repetición: } CR_{n,k} = C_{n+k-1,k} = \displaystyle{\binom{n+k-1}{k}} = \displaystyle{\frac{(n+k-1)!}{(n-1)! \cdot k!}}\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$ $$ \left.\begin{array}{l} \mathbf{\hbox{ (Permutaciones circulares) }} PC_n=(n-1)!\\ \end{array}\right. $$