Cuestiones teóricas: Integral indefinida. Integral definida. Aplicaciones de la integral

Cuestión (#1)

Prueba que si \(F: \mathbb{D} \rightarrow \mathbb{R}\) es una primitiva de la función \(f\), entonces lo es también la función \(x \in \mathbb{D} \rightarrow F(x)+C\), donde \(C\) es una constante cualquiera.


Cuestión (#2)

Consideremos la función \(f\) definida por \(f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x}}, x \neq 0\). ¿Es una primitiva de \(f\) la función \(F\) definida por \(F(x)=Ln(x), x >0\)?


Cuestión (#3)

Dos funciones \(f\) y \(g\) tienen la misma función derivada.

  1. ¿Es entonces \(f-g\) una función constante?

  2. ¿Es \(f-g\) constante en cada intervalo del dominio de derivabilidad?


Cuestión (#4)

Una función coincide en todo punto con su derivada. ¿De qué función puede tratarse?


Cuestión (#5)

Comprueba que si \(n \neq 1\), \(\displaystyle{\int{\frac{1}{x^n}dx}}=\displaystyle{\frac{-1}{(n-1)x^{n-1}}}+C\)


Cuestión (#6)

Una primitiva de la función continua \(f(x)\) es la función \(F(x)\). Obtén una primitiva de \(f\) que pase por el origen de coordenadas.


Cuestión (#7)

Si la gráfica de una función \(y=f(x)\) es una línea recta. ¿Cómo es la gráfica de una primitiva de ella?


Cuestión (#8)

Obtén una primitiva de la función representada a continuación:

Gráfica Cuestión (#8)

Cuestión (#9)

Comprueba que \(\displaystyle{\int{2x cos(x)dx}} \neq x^2sen(x)+C\)


Cuestión (#10)

Tras analizar la cuestión anterior, ¿Es la integral indefinida de un producto el producto de las integrales indefinidas de los factores?


Cuestión (#11)

Halla \(f(x)\) sabiendo que:

  1. \(\displaystyle{\int{f(x)dx}}=x^3-x+C\)
  2. \(\displaystyle{\int{f(x)dx}}=Ln(3x+1)+C\)
  3. \(\displaystyle{\int{f(x)dx}}=sen(2x+1)+C\)

Cuestión (#12)

Obtén la función \(u\) sabiendo que \(\displaystyle{\int{2xcos(x^2)dx}}=u(x^2)+C\)


Cuestión (#13)

Dada la función \(f: \mathbb{R}-\{0\} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f(x)= \left\{\begin{array}{lcc} 1 & si & x < 0\\ 2x & si & x > 0\\ \end{array}\right.\), encuentra una función continua \(F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) tal que

  • \(F'(x)=f(x),x \neq 0\)
  • \(F(0)=5\)
  • ¿Es \(F\) derivable para \(x=0\)?


Cuestión (#14)

Demuestra que \(f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\) definida por \(f(x)= \left\{\begin{array}{lcc} 1 & si & x \leq 0\\ 2x & si & x > 0\\ \end{array}\right.\), no es la función derivada de ninguna \(F: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\).