Límites y continuidad de funciones

  • Límites en un punto (finito e infinito)


  • Límites en el infinito (finito e infinito)


  • Continuidad

  • $$ f(x) \mathbf{\hbox{ continua }} \hbox{ en } x=a \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{ll} (1) \exists f(a) \in \mathbb{R}& \\ (2) \exists \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x) \in \mathbb{R} & \left(\Leftrightarrow \displaystyle\lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) = \displaystyle\lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x)\right)\\ (3) f(a)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x) & \\ \end{array} \right. $$
  • Discontinuidades

  • $$ \left\{ \begin{array}{lccc} \mathbf{\hbox{ Evitable }} & si & \nexists f(a) \vee f(a) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x) & & \\ \mathbf{\hbox{ Salto finito }} & si & \displaystyle\lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) \neq \displaystyle\lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) & \hbox{ con } & \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle\lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) \in \mathbb{R}\\ \wedge\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) \in \mathbb{R}\\ \end{array} \right.\\ \mathbf{\hbox{ Salto infinito }} & si & \left\{ \begin{array}{c} \displaystyle\lim_{x \rightarrow a^{-}} f(x) = \pm \infty\\ \vee\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow a^{+}} f(x) = \pm \infty\\ \end{array} \right. & & \\ \end{array} \right. $$


  • Asíntotas

  • $$ \left \{ \begin{array}{lcc} \mathbf{\hbox{Vertical}} & x=a & \left. \begin{matrix} \displaystyle\lim_{x \rightarrow a} f(x)=\pm \infty & (a \in \mathbb{R})\\ \end{matrix} \right.\\ \mathbf{\hbox{Horizontal}} & y=b & \left. \begin{matrix} \displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)=b & (b \in \mathbb{R})\\ \end{matrix} \right.\\ \mathbf{\hbox{Oblicua}} & y=mx+n & \left\{ \begin{matrix} m = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm \infty} \frac{f(x)}{x} \neq 0 & (m \in \mathbb{R})\\ n = \displaystyle\lim_{x \rightarrow \pm \infty} f(x)-mx & (n \in \mathbb{R})\\ \end{matrix} \right.\\ \end{array} \right. $$