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Límites y continuidad de funciones

Límites en un punto (finito e infinito)

$$ f(x)=\displaystyle{\frac{(x-2)^2(x+2)^2}{16}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \displaystyle{\frac{(x-2)^2(x+2)^2}{16}}=1^{-}\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle{\frac{(x-2)^2(x+2)^2}{16}}=1^{-}\\ \end{array} \right. $$

$$ f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \displaystyle{\frac{1}{x}}= -\infty\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle{\frac{1}{x}}= +\infty\\ \end{array} \right. $$

$$ f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x^2}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{-}} \displaystyle{\frac{1}{x^2}}= +\infty\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \displaystyle{\frac{1}{x^2}}= +\infty\\ \end{array} \right. $$

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x^2-3 & si & x \leq 2\\ -x+5 & si & x > 2\\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \rightarrow 2^{-}} (x^2-3)= 1^{-}\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow 2^{+}} (-x+5)= 3^{-}\\ \end{array} \right. $$

Límites en el infinito (finito e infinito)

Ver +

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x^2-1 & si & x \leq 2\\ -x+5 & si & x > 2\\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} \left(x^2-1\right)= +\infty\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(-x+5\right)= -\infty\\ \end{array} \right. $$

$$ f(x)=\displaystyle{\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+1} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} \left( \displaystyle{\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+1} \right)= 1^{+}\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \left( \displaystyle{\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+1} \right)= +\infty\\ \end{array} \right. $$

$$ f(x)=\displaystyle{\frac{3x-5}{x-2}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} \left(\displaystyle{\frac{3x-5}{x-2}}\right)= 3^{-}\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\displaystyle{\frac{3x-5}{x-2}}\right)= 3^{+}\\ \end{array} \right. $$

$$ f(x)=\displaystyle{\frac{x^2+1}{2x-2}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty} \left(\displaystyle{\frac{x^2+1}{2x-2}}\right)= -\infty\\ \displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty} \left(\displaystyle{\frac{x^2+1}{2x-2}}\right)= +\infty\\ \end{array} \right. $$

Continuidad

Discontinuidades

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$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{cll} x^2-1 & si & x \leq 2\\ -x+5 & si & x > 2\\ \end{array} \right. \hbox{ es continua en x=2} $$

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{cll} x^2-1 & si & x < 2\\ -x+5 & si & x > 2\\ \end{array} \right. \hbox{ tiene una discontinuidad evitable en x=2} $$

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{cll} x^2-1 & si & x < 2\\ 5 & si & x = 2\\ -x+5 & si & x > 2\\ \end{array} \right. \hbox{ tiene una discontinuidad evitable en x=2} $$

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} x^2-3 & si & x \leq 2\\ -x+5 & si & x > 2\\ \end{array} \right. \hbox{ tiene una discontinuidad de salto finito en x=2} $$

$$ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle{\frac{-1}{x-2}} & si & x < 2\\ -x+3 & si & x > 2\\ \end{array} \right. \hbox{ tiene una discontinuidad de salto infinito en x=2} $$

$$ f(x)=\displaystyle{\frac{1}{x}} \hbox{ tiene una discontinuidad de salto infinito en x=0} $$

Asíntotas

Ver +

$$ f(x)=\displaystyle{\log_{2}{\left(x+2\right)}} \hbox{ tiene una asíntota vertical en x=-2 } $$

$$ f(x)=\displaystyle{\left(\frac{3}{2}\right)^{x}+1} \hbox{ tiene una asíntota horizontal en y=1 } $$

$$ f(x)=\displaystyle{\frac{3x-5}{x-2}} \hbox{ tiene una asíntota vertical en x=2 y una asíntota horizontal en y=3 } $$

$$ f(x)=\displaystyle{\frac{x^2+1}{2x-2}} \hbox{ tiene una asíntota vertical en x=1 y una asíntota oblicua en } y=\displaystyle{\frac{x+1}{2}} $$

Resultados teóricos importantes

$$ $$

Actividades

Actividades y problemas

Prueba

Solución:

$ Prueba $

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Asíntotas

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