• Dominio

$$ Dom(f)=\left\{\begin{array}{ccl} \mathbb{R} & si & f(x)=p(x) \hbox{ (Polinomio) }\\ \mathbb{R} \setminus \{x \in \mathbb{R} / q(x) = 0 \} & si & f(x)=\displaystyle{\frac{p(x)}{q(x)}} \hbox{ (Fracción algebraica) }\\ \mathbb{R} & si & f(x)=\displaystyle{\sqrt[n]{p(x)}}, \hbox{ n impar } \hbox{ (Raíz de índice impar) }\\ \{x \in \mathbb{R} / p(x) \geq 0 \} & si & f(x)=\displaystyle{\sqrt[n]{p(x)}}, \hbox{ n par } \hbox{ (Raíz de índice par) }\\ \mathbb{R} & si & f(x)=\displaystyle{a^{p(x)}}, a>0, a \neq 1, \hbox{ (Exponencial) }\\ \{x \in \mathbb{R} / p(x) > 0 \} & si & f(x)=\displaystyle{log_{a} (p(x))}, a>0, a \neq 1, \hbox{ (Logarítmica) }\\ \end{array}\right. $$

En las funciones compuestas, los anteriores tipos de funciones se combinan. Por tanto, para calcular su dominio se deben tener en cuenta las condiciones que impone cada una de ellas.

$$ Dom(f)=\left\{\begin{array}{ccl} \mathbb{R} & si & f(x)=sen(x) \hbox{ (Seno) }\\ \mathbb{R} & si & f(x)=cos(x) \hbox{ (Coseno) }\\ \mathbb{R} \setminus \left\{x \in \mathbb{R} / x = \displaystyle{\frac{(2k+1)\pi}{2}}, k \in \mathbb{Z} \right\} & si & f(x)=tan(x) \hbox{ (Tangente) }\\ \end{array}\right. $$

• Operaciones con funciones

$$ \left\{\begin{array}{ll} (f+g)(x)=f(x)+g(x)\\ (f-g)(x)=f(x)-g(x)\\ (f \cdot g)(x)=f(x) \cdot g(x)\\ \displaystyle{\left ( \frac{f}{g} \right )(x)}=\displaystyle{\frac{f(x)}{g(x)}}, \hbox{ } g(x) \neq 0\\ \end{array}\right. $$ $$ \hbox{ Composición de funciones } \left\{\begin{array}{ll} \hbox{ f compuesta con g } & (f \circ g)(x)=f(g(x))\\ \hbox{ g compuesta con f } & (g \circ f)(x)=g(f(x))\\ \hbox{ En general, } & (f \circ g)(x) \neq (g \circ f)(x)\\ \end{array}\right. $$

$$ $$

• Funciones afines, lineales y constantes

$$ \left.\begin{array}{ll} y=mx+n, & m,n \in \mathbb{R}\\ \end{array}\right. $$ $$ \hbox{ Rectas } \left\{\begin{array}{l} Dom(f)=\mathbb{R}\\ m=\hbox{ Pendiente de la recta } \left\{\begin{array}{l} m <0 \Rightarrow \hbox{ Decreciente }\\ m=0 \Rightarrow \hbox{ Constante }\\ m >0 \Rightarrow \hbox{ Creciente }\\ \end{array}\right.\\ n=\hbox{ Ordenada en el origen } \left\{\begin{array}{l} n <0 \Rightarrow \hbox{ Punto corte eje Y: (0,n), encima del eje X }\\ n=0 \Rightarrow \hbox{ Pasa por el origen de coordenadas (0,0) }\\ n >0 \Rightarrow \hbox{ Punto corte eje Y: (0,n), debajo del eje X }\\ \end{array}\right.\\ \left.\begin{array}{llll} \hbox{ Oblicuas } & si & m \neq 0,\hbox{ } m \in \mathbb{R} & \Rightarrow \left\{\begin{array}{lc} n \neq 0, \hbox{ } n \in \mathbb{R} \Rightarrow y=mx+n \hbox{ (Función afín) }\\ n = 0 \Rightarrow y=mx \hbox{ (Función lineal) }\\ \end{array}\right.\\ \hbox{ Horizontales } & si & m=0, n \in \mathbb{R} & \Rightarrow y=n \hbox{ (Función constante) }\\ \hbox{ Verticales } & si & x=k, \hbox{ } k \in \mathbb{R} & \hbox{ (No son funciones) }\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$

$$y=2x$$

$$y=-2x$$

$$y=2x+1$$

$$y=2x-1$$

$$y=-2x+1$$

$$y=-2x-1$$

$$y=2$$

$$x=2$$

• Funciones cuadráticas

$$ \left.\begin{array}{ccc} y=ax^2+bx+c, & a \neq 0, & a,b,c \in \mathbb{R}\\ \end{array}\right. $$ $$ \hbox{ Parábolas } \left\{\begin{array}{l} Dom(f)=\mathbb{R}\\ \hbox{ Eje de simetría de la parábola: La recta } x=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\\ \hbox{ Vértice: } V(x_{v},y_{v}) \left\{\begin{array}{l} x_{v}=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\\ y_{v}=f(x_{v})\\ \end{array}\right.\\ a \left\{\begin{array}{l} a <0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Cóncava (ramas hacia abajo) }\\ \hbox{ El vértice es su máximo absoluto }\\ \end{array}\right.\\ a >0 \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Convexa (ramas hacia arriba) }\\ \hbox{ El vértice es su mínimo absoluto }\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right.\\ c=\hbox{ Ordenada en el origen } \left\{\begin{array}{l} c <0 \Rightarrow \hbox{ Punto de corte eje Y: (0,c), encima del eje X }\\ c=0 \Rightarrow \hbox{ Pasa por el origen de coordenadas (0,0) }\\ c >0 \Rightarrow \hbox{ Punto de corte eje Y: (0,c), debajo del eje X }\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$ $$ \hbox{ Representación gráfica } \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Cálculo del Vértice: } V(x_{v},y_{v}) \left\{\begin{array}{l} x_{v}=\displaystyle{\frac{-b}{2a}}\\ y_{v}=f(x_{v})\\ \end{array}\right.\\ \hbox{ Cálculo de los puntos de corte con los ejes: } \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Eje X (y=0) }\\ \hbox{ Eje Y (x=0) }\\ \end{array}\right.\\ \hbox{ Tabla de valores (a izquierda y a derecha del vértice) } \\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=x^2$$

$$f(x)=-x^2$$

$$ \left.\begin{array}{cc} y=\displaystyle{(x \pm p)^2 \pm q}, & p,q \in \mathbb{R}\\ \end{array}\right. $$ $$ \hbox{ Traslación } \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Horizontal } \left\{\begin{array}{l} p \hbox{ unidades a la derecha } \Rightarrow y=\displaystyle{(x - p)^2}\\ p \hbox{ unidades a la izquierda } \Rightarrow y=\displaystyle{(x + p)^2}\\ \end{array}\right.\\ \hbox{ Vertical } \left\{\begin{array}{l} q \hbox{ unidades hacia arriba } \Rightarrow y=\displaystyle{x^2 + q}\\ q \hbox{ unidades hacia abajo } \Rightarrow y=\displaystyle{x^2 - q}\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=(x+1)^2$$

$$f(x)=(x-1)^2$$

$$f(x)=x^2+1$$

$$f(x)=x^2-1$$

$$f(x)=(x-1)^2+2$$

• Funciones polinómicas (grado mayor o igual a 3)

$$ \left.\begin{array}{cccc} y=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+a_{1}x+a_{0}, & n \geq 3, & a_{n} \neq 0, & a_{n},a_{n-1},\cdots,a_{0} \in \mathbb{R}\\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=x^3$$

$$f(x)=x^4-2x^2+1$$

$$f(x)=x^3-x$$

• Funciones de proporcionalidad inversa

$$ \left.\begin{array}{ccc} y=\displaystyle{\frac{k}{x}}, & k \neq 0, & k \in \mathbb{R}\\ \end{array}\right. $$ $$ \hbox{ Hipérbolas } \left\{\begin{array}{l} Dom(f)=\mathbb{R} \setminus \{0\}\\ \hbox{ Simetría impar (respecto al origen de coordenadas) }\\ Asíntotas \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Horizontal: } y=0\\ \hbox{ Vertical: } x=0\\ \end{array}\right.\\ k <0 \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Creciente }\\ \hbox{ Pasa por los cuadrantes 1º y 3º }\\ \end{array}\right.\\ k >0 \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Decreciente }\\ \hbox{ Pasa por los cuadrantes 2º y 4º }\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=\frac{1}{x}$$

$$f(x)=-\frac{1}{x}$$

$$ \left.\begin{array}{ccc} y=\displaystyle{\frac{k}{x \pm a} \pm b}, & k \neq 0, & k,a,b \in \mathbb{R}\\ \end{array}\right. $$ $$ \hbox{ Traslación } \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Horizontal } \left\{\begin{array}{l} a \hbox{ unidades a la derecha } \Rightarrow y=\displaystyle{\frac{k}{x - a}}\\ a \hbox{ unidades a la izquierda } \Rightarrow y=\displaystyle{\frac{k}{x + a}}\\ \end{array}\right.\\ \hbox{ Vertical } \left\{\begin{array}{l} b \hbox{ unidades hacia arriba } \Rightarrow y=\displaystyle{\frac{k}{x} + b}\\ b \hbox{ unidades hacia abajo } \Rightarrow y=\displaystyle{\frac{k}{x} - b}\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=\frac{1}{x+1}$$

$$f(x)=\frac{1}{x-1}$$

$$f(x)=\frac{1}{x}+1$$

$$f(x)=\frac{1}{x}-1$$

$$f(x)=\frac{1}{x-1}+2$$

• Funciones exponenciales

$$ \left.\begin{array}{ccc} y=a^x, & a > 0, & a \neq 1, & a \in \mathbb{R}\\ \end{array}\right. $$ $$ \left\{\begin{array}{l} Dom(f)=\mathbb{R}\\ \hbox{ Asíntota horizontal: } y=0\\ \hbox{ Pasa por los puntos (0,1) y (1,a) }\\ a \left\{\begin{array}{l} 0 < a < 1 \Rightarrow \hbox{ Decreciente }\\ a > 1 \Rightarrow \hbox{ Creciente }\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=2^{x}$$

$$f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right ) ^{x}$$

$$ \left.\begin{array}{cccc} y=\displaystyle{a^{x \pm b} \pm c}, & a > 0, & a \neq 1, & a,b,c \in \mathbb{R}\\ \end{array}\right. $$ $$ \hbox{ Traslación } \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Horizontal } \left\{\begin{array}{l} b \hbox{ unidades a la derecha } \Rightarrow y=\displaystyle{a^{x - b}}\\ b \hbox{ unidades a la izquierda } \Rightarrow y=\displaystyle{a^{x + b}}\\ \end{array}\right.\\ \hbox{ Vertical } \left\{\begin{array}{l} c \hbox{ unidades hacia arriba } \Rightarrow y=\displaystyle{a^{x} + c}\\ c \hbox{ unidades hacia abajo } \Rightarrow y=\displaystyle{a^{x} - c}\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=2^{x+1}$$

$$f(x)=2^{x-1}$$

$$f(x)=2^{x}+1$$

$$f(x)=2^{x}-1$$

$$f(x)=2^{x-1}+2$$

• Funciones logarítmicas

$$ \left.\begin{array}{ccc} y=\displaystyle{\log_{a}(x)}, & a > 0, & a \neq 1, & a \in \mathbb{R}\\ \end{array}\right. $$ $$ \left\{\begin{array}{l} Dom(f)=(0,+\infty)\\ \hbox{ Asíntota vertical: } x=0\\ \hbox{ Pasa por los puntos (1,0) y (a,1) }\\ a \left\{\begin{array}{l} 0 < a < 1 \Rightarrow \hbox{ Decreciente }\\ a > 1 \Rightarrow \hbox{ Creciente }\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=\log_{2}{(x)}$$

$$f(x)=\log_{\frac{1}{2}}{(x)}$$

$$ \left.\begin{array}{cccc} y=\displaystyle{\log_{a}(x \pm b) \pm c}, & a > 0, & a \neq 1, & a,b,c \in \mathbb{R}\\ \end{array}\right. $$ $$ \hbox{ Traslación } \left\{\begin{array}{l} \hbox{ Horizontal } \left\{\begin{array}{l} b \hbox{ unidades a la derecha } \Rightarrow y=\displaystyle{\log_{a}(x - b)}\\ b \hbox{ unidades a la izquierda } \Rightarrow y=\displaystyle{\log_{a}(x + b)}\\ \end{array}\right.\\ \hbox{ Vertical } \left\{\begin{array}{l} c \hbox{ unidades hacia arriba } \Rightarrow y=\displaystyle{\log_{a}{(x)}+c}\\ c \hbox{ unidades hacia abajo } \Rightarrow y=\displaystyle{\log_{a}{(x)}-c}\\ \end{array}\right.\\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=\log_{2}{(x+1)}$$

$$f(x)=\log_{2}{(x-1)}$$

$$f(x)=\log_{2}{(x)}+1$$

$$f(x)=\log_{2}{(x)}-1$$

$$f(x)=\log_{2}{(x-1)}+2$$

• Funciones trigonométricas

$$ f(x)= \left\{\begin{array}{ll} sen(x) & \hbox{ (Seno) }\\ cos(x) & \hbox{ (Coseno) }\\ tan(x) & \hbox{ (Tangente) }\\ cosec(x)=\displaystyle{\frac{1}{sen(x)}} & \hbox{ (Cosecante) }\\ sec(x)=\displaystyle{\frac{1}{cos(x)}} & \hbox{ (Secante) }\\ cotan(x)=\displaystyle{\frac{1}{tan(x)}} & \hbox{ (Cotangente) }\\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=sen(x)$$

$$f(x)=cos(x)$$

$$f(x)=tan(x)$$

$$f(x)=cosec(x)$$

$$f(x)=sec(x)$$

$$f(x)=cotan(x)$$

• Función Valor absoluto

$$ \begin{vmatrix} x \end{vmatrix}=\left\{\begin{array}{ccc} x & si & x \geq 0\\ -x & si & x < 0\\ \end{array}\right. $$

$$f(x)=\left | x \right |$$

$$f(x)=\left | x^2-1 \right |$$

• Función Parte entera

$$E(x)=[x] \hbox{, donde } [x] \hbox{ es el mayor número entero menor o igual a } x \hbox{, tal que: }$$ $$E(x) ≤ x < E(x) + 1$$

$$ $$

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