Ecuaciones de 2º grado
Dada la ecuación \( ax^2+bx+c=0 \) con soluciones \( x_1 \) y \( x_2 \):
$$
\mathbf{\hbox{ (Descomposición factorial) }}
\left.\begin{array}{l}
ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)\\
\end{array}\right.
$$
$$
\mathbf{\hbox{ (Suma y producto de las soluciones) }}
\left\{\begin{array}{l}
S = x_1 + x_2 = \displaystyle{-\frac{b}{a}}\\
P = x_1 \cdot x_2 = \displaystyle{\frac{c}{a}}\\
\end{array}\right.
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2) \hbox{ (Dividiendo por a) } \Rightarrow\\
\Rightarrow x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}x} + \displaystyle{\frac{c}{a}} = (x-x_1)(x-x_2) = x^2 -x_2x - x_1x + x_1x_2 = x^2 -(x_1 + x_2)x + x_1x_2 \Rightarrow\\
\Rightarrow \displaystyle{x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = x^2 -(x_1 + x_2)x + x_1x_2 \hbox{ (Igualando coeficientes) }} \Rightarrow
\left\{\begin{array}{l}
x_1 + x_2 = \displaystyle{-\frac{b}{a}}\\
x_1 \cdot x_2 = \displaystyle{\frac{c}{a}}\\
\end{array}\right.\\
\end{array}\right.
$$
$$
\mathbf{\hbox{ (Solución general Ecuación 2º grado) }}
ax^2+bx+c = 0 \Leftrightarrow x=\displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}
$$
$$
\left\{\begin{array}{l}
ax^2+bx+c = 0 \hbox{ (Dividiendo por a) } \Rightarrow\\
\Rightarrow x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}}x + \displaystyle{\frac{c}{a}} = 0 \Rightarrow x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}}x = \displaystyle{- \frac{c}{a}} \hbox{ (Completando cuadrados) } \Rightarrow\\
\Rightarrow x^2 + 2\displaystyle{\frac{b}{2a}}x = \displaystyle{- \frac{c}{a}} \Rightarrow x^2 + 2\displaystyle{\frac{b}{2a}}x + \left ( \displaystyle{\frac{b}{2a}}\right )^2 = \displaystyle{- \frac{c}{a}} + \left ( \displaystyle{\frac{b}{2a}}\right )^2 \Rightarrow\\
\Rightarrow x^2 + \displaystyle{\frac{b}{a}}x + \displaystyle{\frac{b^2}{4a^2}} = \displaystyle{- \frac{c}{a}} + \displaystyle{\frac{b^2}{4a^2}} \Rightarrow \left (x+ \displaystyle{\frac{b}{2a}} \right )^2 = \displaystyle{\frac{b^2 -4ac}{4a^2}} \hbox{ (Tomando raíz cuadrada) } \Rightarrow\\
\Rightarrow \sqrt{\left (x + \displaystyle{\frac{b}{2a}} \right )^2} = \sqrt{\displaystyle{\frac{b^2 -4ac}{4a^2}}} \Rightarrow x + \displaystyle{\frac{b}{2a}} = \pm \displaystyle{\frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}} \hbox{ (Despejando x) } \Rightarrow\\
\Rightarrow x = \displaystyle{- \frac{b}{2a}} \pm \displaystyle{\frac{\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}} \Rightarrow x = \displaystyle{\frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}}\\
\end{array}\right.
$$
Factorización de polinomios de 3º grado o superior
Dada el polinomio \(P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_2x^2 + a_1x + a_0 \):
$$
\left\{\begin{array}{l}
\mathbf{\hbox{ (Valor numérico de } P(x) \hbox{ en } x=x_0)}
\left.\begin{array}{l}
P(x_0) = a_nx_0^n + a_{n-1}x_0^{n-1} + \cdots + a_2x_0^2 + a_1x_0 + a_0\\
\end{array}\right.\\
\mathbf{\hbox{ (Raíz de un polinomio) }}
\left.\begin{array}{l}
x_0 \hbox{ raíz de P(x)} \Leftrightarrow P(x_0)=0\\
\end{array}\right.\\
\mathbf{\hbox{ (Teorema del resto) }}
\left.\begin{array}{l}
\hbox{El resto de la división } P(x):(x \pm x_0) \hbox{ es } P(\mp x_0)\\
\end{array}\right.\\
\mathbf{\hbox{ (Teorema del factor) }}
\left.\begin{array}{l}
x_0 \hbox{ raíz de } P(x) \Leftrightarrow (x-x_0) \hbox{ factor de } P(x)\\
\end{array}\right.\\
\end{array}\right.
$$
Regla de Ruffini
