Teoría de conjuntos

$$A \cap B = \begin{Bmatrix} x / x \in A \wedge x \in B \end{Bmatrix}$$ $$A \cup B = \begin{Bmatrix} x / x \in A \vee x \in B \end{Bmatrix}$$ $$B - A = \begin{Bmatrix} x / x \in B \wedge x \notin A \end{Bmatrix}$$ $$\overline{A} = X - A$$ $$X = A \cup \overline{A}$$ $$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B})$$ $$ \left.\begin{matrix} \overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\\ \overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\\ \end{matrix}\right\} \hbox{(Leyes de Morgan)} $$ $$\hbox{A y B son incompatibles} \Leftrightarrow A \cap B = \varnothing$$

Probabilidad

$$P(\varnothing)=0, P(X)=1$$ $$\varnothing \subseteq A \subseteq X \Rightarrow 0 \leq P(A) \leq 1$$ $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$\hbox{A y B incompatibles} \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ $$P(\overline{A})=1-P(A)$$ $$\hbox{(Regla de Laplace) }P(A)=\frac{\hbox{Casos favorables a A}}{\hbox{Casos posibles}}$$ $$\hbox{si todos los sucesos elementales son equiprobables}$$

Experiencias compuestas

$$\hbox{(Probabilidad de la intersección)} \left\{\begin{matrix} P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B|A)\\ \\ P(A \cap B \cap C)=P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)\\ \\ P(A_1 \cap \cdots \cap A_n)=P(A_1) \cdot P(A_2|A_1) \cdots P(A_n|A_1 \cap \cdots \cap A_{n-1})\\ \end{matrix}\right.$$ $$\hbox{A y B independientes} \Leftrightarrow P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \Leftrightarrow P(B|A)=P(B) \hbox{ si P(A)} \neq 0$$ $$\hbox{(Sistema completo de sucesos) }\left\{\begin{matrix} S_1 \cup \cdots \cup S_n = X\\ S_i \cap S_j=\varnothing \hbox{ } \forall i,j \end{matrix}\right.$$ $$\hbox{(Teorema de Probabilidad Total) } P(A)=\sum_{k=1}^{n}P(S_k)\cdot P(A|S_k)$$ $$\hbox{(Teorema de Bayes) } P(S_i|A)=\frac{P(S_i) \cdot P(A|S_i)}{\sum_{k=1}^{n}P(S_k)\cdot P(A|S_k)}$$ $$\hbox{(Probabilidad condicionada) } P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Combinatoria

$$n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1 \hbox{ (Factorial)}$$ $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \hbox{ (Nº combinatorio)} $$
$$ \hbox{Importa el orden} \left\{\begin{matrix} \hbox{No entran todos} \left\{\begin{matrix} \hbox{Sin repetición: } V_{n,k}=\frac{n!}{(n-k)!}=n \cdot (n-1) \cdots (n-k+1)\\ \hbox{Con repetición: } VR_{n,k}=n^k \end{matrix}\right. \\ \hbox{Entran todos} \left\{\begin{matrix} \hbox{Sin repetición: } P_n=n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots 2 \cdot 1\\ \hbox{Con repetición: } PR_n^{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_k}=\frac{n!}{\alpha_1! \cdot \alpha_2!\cdots \alpha_k!} \end{matrix}\right. \\ \end{matrix}\right. $$
$$ \hbox{No importa el orden} \left\{\begin{matrix} \hbox{Sin repetición: } C_{n,k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!}\\ \hbox{Con repetición: } CR_{n+k-1,k} = \binom{n+k-1}{k} = \frac{(n+k-1)!}{(n-1)! \cdot k!}\\ \end{matrix}\right. $$