Tasa de variación

$$TVM(f[a,b]) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \mathbf{\hbox{ (Tasa de Variación Media) }}$$ $$TVI(f(a))=\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} \mathbf{\hbox{ (Tasa de Variación Instantánea) }}$$

Derivada a partir de la definición

$$f'(x_0) = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \hbox{ ya que si } \left\{\begin{matrix} h=x-x_0 \Rightarrow x=x_0+h\\ x\rightarrow x_0 \Rightarrow h \rightarrow 0 \end{matrix}\right.$$

Derivadas elementales (Regla de la cadena)

$$y=k \Rightarrow y'=0$$ $$y=x^n \Rightarrow y'=nx^{n-1} \hbox{ } \rightarrow \hbox{ } y=f(x)^{n} \Rightarrow y'=n f(x)^{n} f'(x)$$ $$y=\sqrt[n]{x} \Rightarrow y'=\frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n-1}}} \hbox{ } \rightarrow \hbox{ } y=\sqrt[n]{f(x)} \Rightarrow y'=\frac{f'(x)}{n\sqrt[n]{f(x)^{n-1}}}$$ $$y=a^{x} \Rightarrow y'=a^{x}Ln(a) \hbox{ } \rightarrow \hbox{ } y=a^{f(x)} \Rightarrow y'=a^{f(x)}Ln(a) f'(x)$$ $$y=e^{x} \Rightarrow y'=e^{x} \hbox{ } \rightarrow \hbox{ } y=e^{f(x)} \Rightarrow y'=e^{f(x)} f'(x)$$ $$y=log_a(x) \Rightarrow y'=\frac{1}{xLn(a)} \hbox{ } \rightarrow \hbox{ } y=log_a(f(x)) \Rightarrow y'=\frac{f'(x)}{f(x)Ln(a)}$$ $$y=Ln(x) \Rightarrow y'=\frac{1}{x} \rightarrow y=Ln(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=\frac{f'(x)}{f(x)}$$ $$y=sen(x) \Rightarrow y'=cos(x) \rightarrow y=sen(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=cos(f(x)) f'(x)$$ $$y=cos(x) \Rightarrow y'=-sen(x) \rightarrow y=cos(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=-sen(f(x)) f'(x)$$ $$y=tan(x) \Rightarrow y'=1+tan^{2}(x) = \frac{1}{cos^{2}(x)} \rightarrow y=tan(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=1+tan^{2}(f(x)) = \frac{f'(x)}{cos^{2}(f(x))}$$ $$y=cotan(x) \Rightarrow y'=-1-tan^{2}(x) = \frac{-1}{sen^{2}(x)} \rightarrow y=cotan(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=-1-tan^{2}(f(x)) = \frac{-f'(x)}{sen^{2}(f(x))}$$ $$y=arcsen(x) \Rightarrow y'=\frac{1}{\sqrt[]{1-x^2}} \rightarrow y=arcsen(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=\frac{f'(x)}{\sqrt[]{1-f(x)^2}}$$ $$y=arccos(x) \Rightarrow y'=\frac{-1}{\sqrt[]{1-x^2}} \rightarrow y=arccos(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=\frac{-f'(x)}{\sqrt[]{1-f(x)^2}}$$ $$y=arctan(x) \Rightarrow y'=\frac{1}{\sqrt[]{1+x^2}} \rightarrow y=arctan(f(x)) \hbox{ } \Rightarrow \hbox{ } y'=\frac{f'(x)}{\sqrt[]{1+f(x)^2}}$$

Álgebra de Derivadas

$$y=kf(x) \Rightarrow y'=kf'(x)$$ $$y=f(x) \pm g(x) \Rightarrow y'=f'(x) \pm g'(x)$$ $$y=f(x)g(x) \Rightarrow y'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$ $$y=\frac{f(x)}{g(x)} \Rightarrow y'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$

Recta tangente y recta normal

$$ \hbox{Ecuación de la recta tangente a la curva } y=f(x) \hbox{ en el punto } (x_0,y_0)$$ $$r: y-y_0 = f'(x_0)(x-x_0)$$ $$ \hbox{Ecuación de la recta normal a la curva } y=f(x) \hbox{ en el punto } (x_0,y_0)$$ $$s: y-y_0 = \frac{-1}{f'(x_0)}(x-x_0)$$