Inecuaciones lineales |
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$$\mathbf{\hbox{Rectas oblicuas}}\left\{\begin{array}{l}
y \leq ax+b \mathbf{\hbox{ semiplano inferior a }} y=ax+b \mathbf{\hbox{ (incluida la recta)}}\\
y < ax+b \mathbf{\hbox{ semiplano inferior a }} y=ax+b \mathbf{\hbox{ (sin incluir la recta)}}\\
y \geq ax+b \mathbf{\hbox{ semiplano superior a }} y=ax+b \mathbf{\hbox{ (incluida la recta)}}\\
y > ax+b \mathbf{\hbox{ semiplano superior a }} y=ax+b \mathbf{\hbox{ (sin incluir la recta)}}\\
\end{array}\right.$$
$$\mathbf{\hbox{Rectas verticales}}\left\{\begin{array}{l}
x \leq c \mathbf{\hbox{ semiplano izquierdo a }} x=c \mathbf{\hbox{ (incluida la recta)}}\\
x < c \mathbf{\hbox{ semiplano izquierdo a }} x=c \mathbf{\hbox{ (sin incluir la recta)}}\\
x \geq c \mathbf{\hbox{ semiplano derecho a }} x=c \mathbf{\hbox{ (incluida la recta)}}\\
x > c \mathbf{\hbox{ semiplano derecho a }} x=c \mathbf{\hbox{ (sin incluir la recta)}}\\
\end{array}\right.$$
$$\mathbf{\hbox{Rectas horizontales}}\left\{\begin{array}{l}
y \leq d \mathbf{\hbox{ semiplano inferior a }} y=d \mathbf{\hbox{ (incluida la recta)}}\\
y < d \mathbf{\hbox{ semiplano inferior a }} y=d \mathbf{\hbox{ (sin incluir la recta)}}\\
y \geq d \mathbf{\hbox{ semiplano superior a }} y=d \mathbf{\hbox{ (incluida la recta)}}\\
y > d \mathbf{\hbox{ semiplano superior a }} y=d \mathbf{\hbox{ (sin incluir la recta)}}\\
\end{array}\right.$$
Nota: Recuerda que en una inecuación, al multiplicar o dividir por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido. |
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Sistemas de Inecuaciones lineales |
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Para resolver un sistema de inecuaciones lineales, debemos representar cada uno de los semiplanos determinados por las restricciones y determinar el conjunto de puntos (o recinto) en el que se verifican todas y cada una de las restricciones a la vez. Esa región puede ser vacía, acotada o no acotada. Para saber si un punto del plano \(P(x_0,y_0)\) pertenece al semiplano determinado por la inecuación \(\Pi_{-}:ax+by+c < 0\), al semiplano contrario \((\Pi_{+}:ax+by+c > 0) \) o a la recta \(r:ax+by+c = 0\), sustituimos las coordenadas del punto en la ecuación / inecuación y comprobamos cuál de ellas se verifica. $$\left\{\begin{array}{l} \hbox{Si } ax_0+by_0+c < 0 \rightarrow P(x_0,y_0) \in \Pi_{-}\\ \\ \hbox{Si } ax_0+by_0+c = 0 \rightarrow P(x_0,y_0) \in r\\ \\ \hbox{Si } ax_0+by_0+c > 0 \rightarrow P(x_0,y_0) \in \Pi_{+}\\ \end{array}\right.$$ |
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Problemas de Programación Lineal |
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En los problemas de programación lineal con dos variables x, y, pretendemos optimizar (maximizar o minimizar) una expresión denominada función objetivo, sujeta a un conjunto de desigualdades lineales, denominadas restricciones. $$\begin{array}{l} F(x,y)=ax+by & \hbox{ (Función objetivo) }\\ \end{array}$$ $$\left\{\begin{array}{l} a_1x+b_1y \leq c_1\\ \vdots\\ a_nx+b_ny \leq c_n \end{array}\right. \hbox{ (Conjunto de restricciones del problema)}$$
Nota: Una región del plano es convexa si dados dos puntos cualesquiera de la misma, el segmento que los une está contenido en dicha región. $$A \subseteq \mathbb{R^2} \hbox{ es convexo} \Leftrightarrow \forall P,Q \in A, \overline{PQ} \subseteq A$$ Una región del plano es acotada si existe un número real \( M>0 \) tal que todo valor de x e y es menor que M en valor absoluto. $$A \subseteq \mathbb{R^2} \hbox{ es acotado} \Leftrightarrow \exists M>0 \hbox{ / } |x| \leq M,|y| \leq M, \forall (x,y) \in A$$ |
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Resolución gráfica de problemas de Programación Lineal |
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Obtención del conjunto de restricciones a partir de la región factible |
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Nota: Debes recordar como obtener la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Dados los puntos \(A=(x_1,y_1)\) y \(B =(x_2,y_2)\), la pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A\) y \(B\) es: $$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ La ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por los puntos \(A\) y \(B\) es: $$\begin{array}{l} y-y_1=m(x-x_1) & o & y-y_2=m(x-x_2)\\ \end{array}$$ También puedes obtener la ecuación de la recta \(y=mx+n\) sustituyendo las coordenadas de los puntos \(A=(x_1,y_1)\) y \(B=(x_2,y_2)\) en la ecuación de la recta y resolver un sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitas para obtener los valores de m y n: $$\left\{\begin{array}{l} y_1=mx_1+n\\ y_2=mx_2+n \end{array}\right.$$ |